Please handle the request expeditiously to meet the deadline.
締切に間に合わせるため、その依頼を迅速に処理してください。
指示や依頼を遅滞なく迅速に行うことを指す
Without delay; immediately and promptly, often used in formal or official contexts.
expeditiouslyは、ラテン語expeditus（邪魔がない／行いやすい）から派生したexpedite（早める）に-lyが付いて副詞化し「迅速に」の意味になった。
The team acted speedily to contain the spill.
そのチームは流出を食い止めるために迅速に行動した。
短時間で行動し無駄なく目的を達成することを表す
Acting or moving with great speed; quickly and without unnecessary delay.
speedilyは、形容詞speedyに副詞化の接尾辞-lyが付いて生じた語で、speedyは名詞speed（速さ）に由来する。
