아예は肯定文でも使えますか？

はい、使えます。「いっそのこと」「思い切って」というニュアンスで、提案文や勧誘文、命令文などの肯定的な文脈でも自然に用いられます。一方の전혀は基本的に否定の言葉とセットで使います。

전혀のない否定文と何が違いますか？

単に否定する文に전혀を加えることで、「少しも〜ない」「1パーセントも可能性がない」というように、度合いが完全にゼロであることを強調する表現になります。話し手の断定的なニュアンスが強まります。

日本語の俗語「全然大丈夫（肯定）」のように「전혀 괜찮아」と言うことは日常会話でありますが、本来전혀は否定表現と呼応します。自然な韓国語では「완전 괜찮아（すごく平気）」などと言う方が好まれます。

「아예」と「전혀」の最大の違いは、着手自体の有無を表すか、程度がゼロかという点です。「아예」は「端から・最初から」行動や関わりを持たないことや「いっそ」という意味を表し、「전혀」は状態や数量などの程度が「全く〜ない」ことを表します。文脈によって使い分けが必要です。

端から・最初から・いっそ

「아예」は行動を端から起こさないことや、過去から完全に排除するニュアンスを持ちます。否定文だけでなく「いっそのこと」という意味で提案や命令などの肯定文にも使えます。

처음부터 아예 시도조차 안 했어요.（最初から端から挑戦すらしませんでした。）や시간이 없으니 아예 내일 만나요.（時間がないからいっそ明日会いましょう。）のように使われます。

程度や可能性が完全にゼロ

「전혀」は主に否定表現と呼応し、状態や知識、感情などの程度が「完全にゼロである」ことを客観的に表します。「모르다（知らない）」「없다（ない）」「다르다（違う）」などの否定的な意味の言葉とよく結びつきます。

그 이야기는 전혀 몰랐어요.（その話は全く知りませんでした。）や어제와 전혀 다른 결과가 나왔다.（昨日と全く違う結果が出た。）のように用いられます。

그는 아예 오지 않았다.

彼は全く来なかった。

나는 그 일에 전혀 관심이 없어.

私はそのことに全然関心がない。

「아예」は行動に着手すること自体を遮断する能動的な意図を含みやすいのに対し、「전혀」は能力や性質、事実などの度合いがゼロである状態を客観的に描写する点に違いがあります。

「全く違います」と状態の差異を言う場面で아예を使う誤りです。程度がゼロと言いたいときは전혀を使います。
× 아예 달라요 → ○ 전혀 달라요 (75字)
「いっそのこと買い替えよう」という肯定的な提案で전혀を使う誤りです。전혀は肯定の勧誘文には使えません。
× 차라리 전혀 새로 사자 → ○ 아예 새로 사자 (79字)
「痛みが全くない」と感覚の程度を言う際に아예を使う誤りです。身体感覚や状態の無さは전혀が自然です。
× 통증이 아예 없어요 → ○ 통증이 전혀 없어요 (76字)

포기할 바에는 ___ 시작하지 말걸 그랬다. (아예 / 전혀)（諦めるくらいなら最初から始めなければよかった。）
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正解は「아예」です。「端から・最初から手をつけない」という意味合いには아예が適切です。
그 사람과는 성격이 ___ 맞지 않아요. (아예 / 전혀)（その人とは性格が全く合いません。）
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正解は「전혀」です。適合する度合いがゼロであることを否定形で表すため전혀を用います。
늦었으니까 ___ 택시를 타고 가자. (아예 / 전혀)（遅れたからいっそタクシーに乗って行こう。）
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正解は「아예」です。「いっそのこと」と方針を切り替える肯定の提案文には아예を使います。

Q. 아예は肯定文でも使えますか？: はい、使えます。「いっそのこと」「思い切って」というニュアンスで、提案文や勧誘文、命令文などの肯定的な文脈でも自然に用いられます。一方の전혀は基本的に否定の言葉とセットで使います。
Q. 전혀のない否定文と何が違いますか？: 単に否定する文に전혀を加えることで、「少しも〜ない」「1パーセントも可能性がない」というように、度合いが完全にゼロであることを強調する表現になります。話し手の断定的なニュアンスが強まります。
Q. 「全然大丈夫」のとき전혀は使えますか？: 日本語の俗語「全然大丈夫（肯定）」のように「전혀 괜찮아」と言うことは日常会話でありますが、本来전혀は否定表現と呼応します。自然な韓国語では「완전 괜찮아（すごく平気）」などと言う方が好まれます。