「峠を越す」はどちらを使いますか？

文脈によって両方使えます。危機そのものが去ったときは「고비를 넘다」、患者などが自力で危機を脱したときは「고비를 넘기다」と表現します。

お酒を飲む場面で넘기다を使う理由は？

お酒や食べ物を口から喉の向こう側へ「送り込む（飲み込む）」という身体動作を表すため、「목으로 넘기다（喉越しに通す）」のように使われます。

期限が自然に経過したなら「기한이 넘다」、人が期限を守れず超過させてしまったなら「기한을 넘기다」のように助詞と視点に合わせて使い分けます。

넘다と넘기다の最大の違いは、主語自身が境界を「越える」のか、それとも対象を「越えさせる・渡す」のかという点です。

넘다は基準や山などの境界をそのまま通り過ぎる動作を表します。一方、넘기だはその使役形から派生した語で、物を他人に渡したり、本のページをめくったり、食べ物を喉の奥へ送り込んだりする動作まで幅広く使われます。

主語が基準や境界を自ら越える

基準値、境界線、障害物などを主語自身が通り過ぎて向こう側へ行くことを表します。時間や年齢、数値が一定ラインを突破した際にもよく使われます。시간이 이미 자정을 넘었다.（時間がすでに午前0時を過ぎた。）のように、基準となる数量や時間を上回る場面で用いるのが典型的です。

対象を越えさせる・渡す・めくる

目的語となる対象を境界の向こう側へ行かせる使役の表現です。ここから派生して、本をめくる、責任や物を他人に引き渡す、期限を先延ばしにする、食べ物を飲み込むなど多様な文脈で用いられます。책장을 한 장씩 넘기며 읽었다.（本のページを1枚ずつめくりながら読んだ。）のように使います。

강을 넘었다.

川を越えた。

그에게 열쇠를 넘겼어요.

彼に鍵を渡しました。

넘다は主語が境界を乗り越える結果に焦点があるのに対し、넘기다は何らかの対象に働きかけて境界を越えさせたり次の段階へ送ったりする動作に焦点があります。

마감 시간을 ___ 않도록 주의하세요. (넘지 / 넘기지) （締め切り時間を過ぎないように注意してください。）
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正解は넘기지です。主語が「締め切り時間（対象）」を先送りにして過ぎさせないようにするという他動詞の文脈だからです。
기온이 벌써 30도를 ___. (넘었다 / 넘겼다) （気温がすでに30度を超えた。）
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正解は넘었다です。気温という主語自身が基準の数値を自然に上回った状態を表すため、넘다を用います。
후배에게 중요한 업무를 ___. (넘었다 / 넘겼다) （後輩に重要な業務を引き渡した。）
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正解は넘겼다です。業務という対象を相手に「渡す・任せる」という他動詞の動作なので넘기다が適切です。

Q. 「峠を越す」はどちらを使いますか？: 文脈によって両方使えます。危機そのものが去ったときは「고비를 넘다」、患者などが自力で危機を脱したときは「고비를 넘기다」と表現します。
Q. お酒を飲む場面で넘기다を使う理由は？: お酒や食べ物を口から喉の向こう側へ「送り込む（飲み込む）」という身体動作を表すため、「목으로 넘기다（喉越しに通す）」のように使われます。
Q. 期限を過ぎた場合はどちらですか？: 期限が自然に経過したなら「기한이 넘다」、人が期限を守れず超過させてしまったなら「기한을 넘기다」のように助詞と視点に合わせて使い分けます。