He put on airs by name-dropping famous clients.
彼は有名な顧客の名前を出して見栄を張った。
見栄を張ること、つまり自分を実際より優れて見せるために作った態度をとること
to behave in a way intended to impress others by seeming more important, intelligent, or stylish than one really is
put on airsは、put on（身につける・装う）＋airs（態度・気取った様子）から、演じて偉そうな振る舞いをするという意味になった
